新东方赖建杰：2019北京卷高考数学试卷解析（口述版）

各位亲爱的同学们大家好，我是高中新东方数学教师赖建杰。

我希望大家考的不错，能够达到大家想要的分数。试题大家可能觉得比较难，我给大家解析一下。

试卷整体体现我们新课程的理念，总体是对基础知识、基本技能，还有数学的基本思想方法的考察，是比较全面的一套试卷。

这套试卷跟我们之前做的很多模拟题，或者是之前的一些高考题差不太多，有基础题，也有中档题，还有综合性题，也还有一些创新题，其中最多的是基础题。

基础题不是我们课本上的特别简单的一些例题，而是把课本上的例题进行了延伸，还有我们平时学习过程中的比较常规的一些题型也都考到了。

在做题的过程中，大家看这些题好像没有做过，但是考点其实是做过的，这就是基础题。

所以基础不是特别简单的题，还是体现在平时我们练习过程中所要求的那些题型，大家都得掌握。

再就是中档题、综合题，还有一些创新题，因为高考是一个选拔性考试，那么本次的这些题目跟往年差不太多，那么分值的设定也比较合理。

整个试卷跟我们以往一样，把我们高中所学的所有内容都已经涵盖进去，包括函数、立体几何、平面解析几何、概率统计、数列等等，这些考察的内容比较高，会出现在大题中。

并且这一次考试各个考点升华了，跟以往也不太一样，但是特点归特点，我们的基础仍是非常重要，并且我们数学的四大思想考的比较多，比如说函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、化归与整合的思想。

创新的题在理科里边体现的更多，文科也有，相对来说理科稍微多一点。

这是我对整体的一个简单评析，整套试卷大家看下来，跟之前我们平时的一些练习题，包括一些模拟题都还是差不多，更多是需要大家更深层的去剖析，这也是希望大家以后在做题的过程中需要注意的。

整个试卷的构成，跟高三以后做的试卷都是一样的，150分的分值，有8个选择，6个填空，还有6个解答题，选择题一个是5分，填空题也是5分，一共加起来是70分。

所以大家在平时练习过程中希望大家多多注意一下选择和填空部分的分数，看起来好像选择填空叫小题，解答题叫大题，其实得小题者得天下，因为小题的分数特别高，而且大家在一念一间容易出错。所以既需要大家在稳中求胜，更多还是需要大家有自信。比如说这个题看起来好简单，我平时好像没有遇到这么简单的题，这时候你敢不敢选。

第二，很多题看起来比较简单，但是题目中的陷阱，还是需要大家去把它挖掘出来。

解答题从此以往都比较固定，就是三角，文科以往会考一些三角函数，理科近几年更多考的解三角形，里面会融入一些三角函数的思想，统计概率这个大题文理都有，理科的知识点难度上更多一点，理科考的更难，文科也考，立体几何文理都有。

数列，数理是单独拎出来，是文科的一个数列，是对等差等比数的考察。导数、圆锥曲线，创新题主要是理科，理科的创新题主要是以数列和几何为主，难度会比较大，所以整体的试卷结构，差距跟以往相比不是特别多。

接下来我说下各个题目，首先说选择和填空的小题，我写的关键词就是回归课本，因为这个题，我们2017年北京第八题，文科和理科都考了这个题，这个题对数的运算，对数的应用，对数的内容，大家可能背了很多公式，但是更深层的内容是应用，有兴趣的同学翻一下课本，我截的是课本必修一，2004年旧教材，新教材已经出来，现在我们还没有见到，我们截取了旧教材的内容，在旧教材里面这是必修一的例题，这个例题是删减的运算，很像化学题，这个题体现了我们对数在我们实际生活中的运用，比如2017年高考题，在你计算很大数据时，你直接运算非常复杂。

但是如果有对数，对数在计算过程中会非常简单，而且还有个提示，0.48这个题大家应该做过好多遍，如果单纯的比较这个361次方和10的80次方，可能连切入点都没有，但是如果我们进入对数，取一个对数，整个就会变得非常非常简单。

希望大家要回归课本，对课本要重视起来，每一个例题大家都好好的看一下。

对数的一些发明，包括对数跟指数的关系，课本写了非常多，在数学文化里面整体体现的比较多，希望大家看一看。数学如果大家仅仅是做一些课本上题，觉得这个题目特别特别简单，可能对课本的应用不完整，更多的是思考这个题目背后的内容。

我们看下一题，我写的承上启下，对向量的考察，2016年、2017年、2018年，我都标出题号了，例如2016年北京的第四题，还有2017年的文科第七题，理科第六题，还有2018年的理科第六题，其实对于向量这部分的考察还比较多，并且它是以充分必要条件的一个形式出现，这个部分更重视基础。

对于基础知识点掌握好的同学，这一块做的非常好，每一年出完高考题之后，各个区能从各个不同的角度去剖析向量可以从哪个方向考，怎样考，或者我们考了这个题，你会发现模拟题会变成各种各样的，都是以模的形势出现，去考一些必要条件，每个题背后的原理希望大家思考。

这个题，我们可以去平方，右边把它平方，平方完了得到是这两个向量是互相垂直的，也就是说A向量和B向量互相垂直。

如果等角于垂直，那么左边是模相等，这个垂直是向量其中的一个元素。向量一共有两个元素，一个是大小，一个是方向，垂直注意的是方向问题，它俩方向是垂直的关系，前面是大小关系，就是模向相等，所以这个地方要D。

其实我想表达就是说了，对于基础知识的考点，一定要够详细。比如说向量，我们最最基本的内容，加法，向量的加法、减法，还有数量基，你比如对于加法来说，我们这是一个A向量，它有平行四边形法则，也有我们的三角形法则，平行四边形法则，这个A向量加上B向量就会等于这个，这个是A向量加上B向量。

它们俩还可以相减，A向量减B向量，A向量和B向量相加，还有A向量和B向量相减，如果相加和相减的相等了是什么意思，从这个图里面看，是平行四边形法则，所以我们能看到什么呢，说明它对角线相等，平行四边形的对角线相等这是我们初中的概念，就是矩形，得到应该是A向量和B向量是互相垂直的。

如果说A加B向量和A减B向量，它们两个互相垂直就得到一个菱形，那就是A向量的模和B向量的模是相等的，这些内容在我们很多模拟题里面都已经见过。比如说A向量加B向量，A向量减B向量，大于能得到什么？大家可以思考一下，如果说这段长，比这段长要大，说明这个角度有问题。

我们平时做题过程中，如果考了相等，那么这两个长最大的模之间是相等的，我们想一下，除了大小关系，我们还可以从位置关系，从垂直开始，除了相等以后，我们相减，相加和相减的大小关系，我们再去讨论一下。

第二题考的是数量基的内容，正数都已经全部考察过了，再比如我们2018年考的不太好做的一个题，给了一个新的条件，单边向量，这个大家平方之后得到它应该也是一个垂直的。

向量非常重要，在我们高中阶段聊到的应该是二维的向量，大家在以后学的还有更多，比如我们后面学过三维，即我们立体几何里面的向量，这些内容运用会比较多，而且向量用起来比较好，会把几何的内容直接转换成代数，我们在作题的过程中，很多同学对空间想象能力不太好，觉得线为什么垂直，这个点在哪儿我不知道，但是有了向量之后我们可以避开这些东西，所以理科空间向量运用是非常好用的。所以大家对这块的内容一定要重视起来。

继续承上启下，这个截取的是2018年北京理科13题，2018文科的十一题，还有2017年文理的十三题，那么这个题解出来什么呢，在2017年之前，其实这类题目在高考中好像没有出现，对于命题的这部分的考察。

在我们最开始学的时候我们学过四大命题，后来新课改之后这部分涉及比较少，比如充分必要条件里面也会提到命题的一些概念。

对于命题单独的考察，在2017年之前考察得很少，可模拟题里面会有，高考题里面重视度不够，在2017年以后开始有这个内容，之前以充分必要条件，或者以别的形式出现，后来就单独变成了新的题目，比如2017年考的一个题目，并且通常考都是假命题，它会把真命题和假命题放进去。

这一部分对逻辑思维的考察能力比较好，之后所有的模拟题里面对这个部分剖析的会非常多，从各个部分都有，包括还考过真命题，其实也都存在。

这部分复习希望大家重视，因为今年对命题也有考察。在练习的过程中思考一下，如果我把它变成一个真命题怎么变，把它变成真命题我们怎么去做，这也需要大家好好思考，做题的过程中不要只看这一类的题目。

我们就把第一个改成一个真命题，那么你需要写出这样一个真命题需要怎样去写，不要觉得这个题改完之后变简单，主要是你的这种思维方式很重要。这是选择填空的第二个。

着重说一下大题，首先说导数，出了导数以后，你做的所有题目都会跟导数有关，因为导数确实好用，那么我们在学习过程中还是基础非常的重要。

导数的基础有哪些？课本上的内容就是基础。北京跟全国卷不太一样，因为全国卷考的东西会多一点，对于北京的高考题来说，大家去翻一下近几年的高考题，比如近六年，近五年的高考题，其实大家会发现一个特点，北京对于导数的考察跟课本上是非常贴切的，但是在此基础上，还有新的一些内容会融在里面，因为不仅仅局限于课本，还要高于课本，但是整体来说它的核心永远是在课本上。

你会发现高考的过程中考的更多是最值，像这样一个题，原则上我们需要把这个右边部分把它挪到左边变成一个新的函数，那么对于新的函数，相当于就是求一个最值，因为整体是大于一等于零的，所以说我们在平时练习的过程当中，对切线、极值、最值、单调性要重视。

希望大家在做题时要有一个自我发现，希望大家一定要在做题过程中自己去摸索一下，就是题目的几个问题之间的一些联系，比如说2015年题目，那么我们这一问已经证明了f（x）是恒大于后面这个式子的，这个时候我们第三问在做的过程中，如果说对于这个第三问，如果大家在做的过程中都觉得好像没有什么切入点，这个k的值我都不知道怎么去做，但是你观察一下K和R，除了K和R不一样，别的题形式都完全一样，f（x）是一样的。

大家要想能不能直接快速得到一个k的一个范围，那也就明显k小于等于2的时候肯定是成立的，为什么？因为x是一个0到1，x是一个正的，那么x加上3分之x3次方，它也一定是正的，这时我们利用不等数的性质，左右两边同时乘以一个正数，不等号的方向肯定是不发生任何改变，那就是k（x+x/3），它会小于等于2（x+x/3）的三次方。

k小于等于2，我们两边同乘以一个正数，它的不等号方向是不会发生改变的。因为第二部分已经证得了，这个部分它是小于f（x）的，那也就是说k小于等于2肯定是成立的。

各个问题之间的一些联系在2017年也有体现，2017年大家应该也注意到了零点，导数零点特别不好求，但是第一问直接给你了，问的是0到f0的一个切线方程，那么这个fp0就直接等于0，那这个特别不好求的零点，就相当于是直接给你了。

如果在作题的过程中，只是利用我们平时讲的所有的基础内容，第一步定义，第二步求导，第三步判断导函数的单调性，第四步求导函数的零点，然后我们画一个小图，就开始写一个单调区间。

大家在作题过程当中，观察一下题目和题目之间的联系，在数学体现得还是非常深刻的，就比如说一些比较难的题目，在真正做的过程中，你会发现这个好像毫无头绪，但是如果说你是一问一问好好做下来的时候，其实整个思路和脉络会更加清晰，一定要有一个自我发现的精神，在做题的过程中多多去考虑一下，特别是那些自己平时不太擅长的题目，或者是一些没有见过的题，那么我们在做的过程中，一定要去观察一下这个题目本身的内容。

高考不仅仅是考我们平时的积累，更考的是我们在考试的过程中，如何科学并且更好的去运用我们题目之间的内容，对自己的自主创新考的会多一点，这个也希望大家在以后做题的过程中更多的考虑，特别是看起来不太好做的题。

我们再说一下圆锥曲线，圆锥曲线的关键词叫做：考点稳定。

这个是2017年和2018年北京的圆锥曲线题，一直在考圆锥曲线的椭圆，之前考面积的问题，之后考共线的问题，相当于多动点的考察，大家要熟练的掌握，之前也考过这个单多点的问题，大家一定要分析清楚，圆锥曲线题型的分类非常重要，因为你只有把这个题型分清楚之后，你才知道后续如何去做。

我们简单说一下，不同的老师讲的东西不一样，但是我们想表达的内容一定是一样的，比如单动点问题。

单动点问题顾名思义是只有一个点在动，就是在椭圆上能看到一个点，在同一条曲线上，有且只有一个点，之前海淀考过一个题，有一个椭圆，又有一个圆，又来个动点，很多同学会考错。

接下来我们说它的做法，单动点问题，首先我们要确定单动点问题，这个就是设主动点，我们把椭圆上这个点把它设出来，设成X0和Y0。

我们把主动点设好以后，用X0和Y0去表示所有的量，所有量就是题目要求是什么，我们就表述什么。我们把所有的量全部表示出来，AN乘以BM，A点如果不是我们主动点，N点M点我们都得用这个点表示，无论如何你得用这个点表示。

表示完之后我们利用这个点在曲线上，我们去整体化简，大家在做题的过程中会发现，最后会出现一个很长的一大串式子，比如x方加上多少倍的y方，如果你把我们的椭圆的方程把它运用上，利用这个点在一个椭圆上，得到一个，比如说我们得到这样的一个形式，比如是椭圆，是这样一个椭圆，x方加上4y方等于4，对于这样一个椭圆，我们就可以把这个x方加上4y方整体的把它带进去，然后去运算，这是我们单动点大题的一个做法。

在做的过程中用x表示所有的量是最重要的，所以我老说，我们圆锥曲线重点是转换，难点是计算，就是转换的过程中是很重要的，因为你不同的转换，可能导致你整个题目的脉络，作题的计算量，可能会引起很大的不同，但是更多的就是在后面的计算，就算你转换得非常简单，那么圆锥曲线对于计算量的考察比较多。

所以对于这个部分要多多地练，每个题可以做好多遍，这是单动点，然后是多动点。

对于多动点来说，多动点就是有好多个动点，动点会多一点，一般我们会找到两个点，把它划分成一条直线，所以这个时候我们去主动设点，然后还把直线设出来。

第二点我们去连立，连立什么？连立椭圆和直线。我们把韦达定理都写出来，写出韦达定理。第三点我们用这两个点表示所有的量，我们最后利用韦达定理把它全部弄出来，去化简。

其实大家在分析完这个部分以后，自己可以感受一下，对于圆锥曲线的一些题目，它大体的思想是什么？无论是单动点的问题，抑或是多动点的问题，那么其实就是矛盾的集中化，就是我们单动点问题，我们试图用一个点去表述所有的量，我们把题目所有的信息全部都集中在一个点上，最终我们利用这个点，在曲圆上整体进行化简。

有的同学说化简了半天化简不出来，很有可能是计算问题，我们在转换过程中不是特别地合理，这样导致这个题目看起来很难。

多动点问题也是一样的，我们一般是设出直线，它有两个动点或多个动点，我们会挑两个比较好的一个点把它弄出来，这个时候就看不同的题目了，难易程度不一样，北京的高考比较好，我们把这个直线设出来之后，因为你这两个点正好在椭圆上，所以这个时候我们正好可以连立，因为连立说明它们Y是，所以相等之后你可以连立，然后这两个x正好是它们的焦点，因为相当于就是这一个直线和一个曲线两个焦点，然后我们就用韦达定理把它表示出来，我们用这两个点去表示所有的量，就是我们把所有的问，所有的矛盾，全部集中在这两个点上，然后我们再利用韦达定理整体去把它化减掉。所以从宏观上来说，这个圆锥曲线的大题基本上我们都能分成这两类，还有一些更加奇怪的题目，就是我们平时一些延伸内容。但对于北京的高考题，这两个题型大家一定是需要明确的，这两个题都一样重点是转换，难点是计算，在这个表示的过程中非常难，这个考察大家的细心。

所以对于这样的题目大家一定要拿稳，考点比较稳定，大家的发挥也一定要足够稳健，就是分清楚多动点、单动点以后，然后我们的做法就开始了，一定要每一步，每一步的写，不要贪快。希望大家明白，在整个做题的过程中，一定是看起来非常认真的把一个题顺利的做出来，要疯狂的计算，在做题的过程中一定要从第一步就开始每一步好好的去写，所以大家在做题的过程中，把每一个整体的部分把它分成一个一个的小块。整体看起来好像挺难，整个圆锥曲线算下来是一个数都没有。Y点是一个定值，整体看起来好像很可怕，其实是比较简单的，希望大家多细心。。

这是北京理科的圆锥曲线题，从2017年就开始考这个，可能从椭圆考到抛物线，2017、2018年考的抛物线，大家在平时练习的过程中，对抛物线的内容一定要更加重视，今年很多区的模拟题里面也会有很多抛物线内容，希望大家重视一下，它的做法其实跟我们前面说的这个文科单动点多动点都是一样的，这两个没有什么太大区别，所以在做题的过程中，理科同学多把抛物线这一块做得好一点。这就是对于我们今天刚考完的一些题目的一些讲解，特殊的一些题型，我们根据之前的一些关系给大家说了一下，接下来更多的是希望跟大家聊一下下一届的同学如何去分析。

因为我们迎到一个新的课改，希望大家把这种课改当做一种机会，一定把它当成一种机会，就是好好的利用一下这个课改的新的动向，比如说其实现在应该大家以后一轮复习开始了，以往对于理科生的同学来说可能8月份才刚开始一轮复习，我们现在基本上来说，就应该5月份各个学校都已经开始一轮复习了，更早的4月份开始了。这么早的开始复习，复习的量跟以往相比就会少很多，以理科为例学了很多内容，我们之前理科讲的，我们新的是不讲的，比如说导数，导数我们之后定积分我们都是不讲的，其实可能少很多很多章节，这个时候有大把大把的时间，我们用来干什么，所以希望大家一定要重视课本。刚才举了很多个题，都是希望大家对于课本一定要重视，无论是小题里边，还是大题里边比如导数，像刚才说那个对数，其实除了对数以外，还有很多别的一些题目，希望大家做一下课文的内容，那么很多你可能在做题目过程中你觉得这个形式我好像从来没有见过，比如说我们出现一个比如圆锥曲线第二或第三定义的题，这大家都觉得好像没有听说过什么第二第三定义，老师一讲都没听说过，其实在课本里面，课本是非常隐含的，把这些内容说出来，只不过我们在说的时候并没有把它变成一些定义，它只是以一些特殊数据的形式把它呈现出来的，大家可以自己去看一下课本，包括圆锥曲线，它的一些整体的就是它们三者之间的一些联系，椭圆、双曲线、还有抛物线，它们之间的一些联系都有，其实圆也属于圆锥曲线的一种，那个我们课本上也强调了这些内容，再比如导数部分，导数整体的课本，我们上面考什么内容？一些例题，我们能不能去想去把它换一些数据什么的，其他可以去观察一下很多一些好的上面其实都是这么做的，所以我也希望大家自己在做复习的时候中，一定要注意一下课本，无论学校用不用课本，我们一定要把课本拿出来，时不时的看一下，自己去体会一下习题或者是课后的一些背景的一些故事都还是非常重要的。

第二就是一定要重视我们的一轮，一轮也叫大一轮，大一轮我们把所有的题目，所有的内容把它就像高一一样，我们会全部的给它讲出来讲一遍。所以那么我们有了这么长时间基本上比之前以往可能多三个月，那么这个时候希望大家把每一个部分，就大一轮每一个知识点，一定要吃透啃透，那么在做的过程中很多同学老问，这个东西这个内容它到底考不考，高考到底考不考，它如果不考我就懒得复习了，比如说几何，几何在整体高考的考试中大家会觉得其实考的很简单，就是一个交集、并集平时那么多题目我需要做吗？需要，一定要把这些题目都做一做，不要觉得好像高考不考我就不用学一样，高考其实考的更多是变化，那你这个变化平时你只是做一些比较简单的题，变化之后你这些思维怎么来？其实就是从不同的题目里面去摘选一些我们的一些想法，或者新的一些思路，这样的话我们做题的过程中才会更加的灵活，所以接下来我说了一个灵活多变，在做题的过程中不仅仅只是把一个题目做完就可以了，一定要去想一想它背后的一些内容，我们刚才已经举例了，向量考了相等，那你有没有想过别的一些关系，除了相等，向量就两个要么大小要么方向，大小是相等的，那么接下来方向有没有什么关系，比如说垂直，比如说共线，那么大小除了相等以外，是不是还有大于，是不是还有小于，所以这些内容希望大家在做题过程中一定要去多多的思考一下，一定要懂得去灵活的多变一下，不要仅仅局限于某一个题目，好像我把这个题目弄好就行了，其实不是这样的，一定要把每一个题目多多的去思考咀嚼一遍，数学更多的是需要大家去思考的，不是说数学好像做个题做会，不是这样的，一定要多多的思考一下。一定要够灵活，灵活多变其实更多的就是我们最后一条，量变质变，也就是说数学，我们在平时的学习过程中你会发现很多同学的成绩就比较好，而很多同学不可能成绩就不太好，成绩好的，你会觉得他脑子就好使，其实你可以去看一看，也许他做的题会比你的题要多，也就题量真的非常重要，题量真的非常重要。在我们学习过程中我们讲一个知识点，这个知识点背后所蕴含的一些内容，可能讲的不是特别的透彻，更多的是需要大家把这个题量把它堆积起来，这个时候我们题量起来以后，你会发现你可能懂的会比别人多一点点。

其实你会发现优秀的同学都会有一个比较有意思的一个特征，特别到高三后期的时候，有一个题拿出来他就说这个题好像我不会做，问一下别人，别人说这个题我好像在什么地方见过，大概是什么思路，别人为什么能够那么灵活多变，就是因为别人真的量变引起了质变，你的题量如果到达某一个层次，它真的会发生变化。当然我说的肯定不是我们题海战术，把所有的题目都重复的全部写一下不是这样的，而是说你的题量不能特别少，也不能特别的多，我们大概在某一个部分就可以了，举个简单的例子，给一个指标你们学校有一些练习册，当然我们这边也会给大家做一些个性化练习册，那么把这些练习册，大家好好的去把它完成一下这是第一个。第二个可能你额外的再找一些题，再把它去做一做，再简单一点，再低层次一点，就比如说每天学校的作业你得好好的去完成，每一个题目争取一定要把它弄清楚，而不是以特殊的一些形式去展现，好像这个题目我以特殊的方法，比如说什么特值法我把它做出来了这事情就结束了，那么这些问题其实在一轮复习中最好不要有，最好是能找到每一个题的一个本质，我们把每一个题它背后的内容把它弄清楚，这个题到底正常的解法是怎么解过来的，也就是把每一个选择题，或者是填空题我们把它当解答题去做，这样一个量，也就说你把每个作业如果是能按这个标准把它好好的去完成，基本上再加上一点额外的一些练习题我觉得这样量差不多就够了，当然这个思考的时间要有，所以这个是我对整体高考备考考生好的一个建议，希望大家好好的重视一下课本，重视我们大一轮的一个所有内容，不要问这个内容考还是不考，一定要明确这个东西，我到底理解了还是没有理解，我到底会了还是不会。

最后就是我们做题过程中多多的去思考一下别的题还有可能出现的形式，最后就是题量我们一定要够，这就是我对于今天下午大家考完的这个北京数学的整体的一个解析，希望对大家明年的备考有所帮助，好，谢谢大家。

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